Matemática

LOS POLINOMIOS

Ahora es el momento de otra de las expresiones algebraicas enteras usuales: Los Polinomios. Se ocuparán en especial de los polinomios que tienen la forma: 

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donde  son números reales constantes, llamados coeficientes ,  es la indeterminada

Los polinomios se utilizan para modelizar matemáticamente  muchas situaciones  reales y de distintos campos profesionales.  Pero, ¿qué significa modelizar matemáticamente? ¿cómo se plantea un polinomio como modelo matemático de una situación concreta?;  las respuestas a estas y otras preguntas encontrarán en este video tutorial. 

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Video tutorial: El polinomio como modelo

Para poder modelizar matemáticamente con polinomios, además de saber qué  son los polinomios y algunas características de ellos, es necesario saber: ¿ qué operaciones son posibles entre polinomios? y ¿ cuáles son las propiedades que rigen en las operaciones? Seguro que ya las conocen. Por eso , primero queremos que revisen y valoren los conocimientos que tienen de este tema. 

CLICK AQUÍ PARA CONTESTAR EL CUESTIONARIO DE POLINOMIOS

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¿Cómo valorarían su conocimiento del tema?. Si se equivocaron, ¿por qué creen que fue así?. 

Si la valoración de los conocimientos del tema fue satisfactoria, ¡Felicitaciones !. Si no fuera así, ¡No se desanimen!.

Simplemente es necesario que repasen los conceptos y propiedades que intervienen en las operaciones con Polinomios. A continuación les presentamos una serie de videos tutoriales que preparamos para ayudarlos a aprender.

Operaciones con Polinomios

• Suma y resta de polinomios. Cuando se suman o restan dos polinomios, el resultado es un polinomio. El resultado puede ser un monomio, un polinomio nulo o tener grado menor o igual que el del polinomio de mayor grado que estamos sumando o restando. Estos tutoriales les va a ayudar a comprender la suma y resta de polinomios.

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Video tutorial: Suma de Polinomios

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Video tutorial: Resta de Polinomios

• Multiplicación de polinomios. Cuando se multiplican dos polinomios,  el resultado es un polinomio. En caso que se multipliquen dos monomios, el resultado es otro monomio. En la multiplicación de polinomios, a diferencia de la suma y resta, el grado del polinomio producto es diferente a los polinomios que se multiplican, si éstos no son nulos. El tutorial explica muy bien esta cuestión.

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Video tutorial: Multiplicación de Polinomios

• Productos notables. El cuadrado de una suma, el cuadrado de una suma o diferencia, el producto de una suma por una diferencia o el cubo de una suma o diferencia son algunos de los productos notables. Se llaman así porque, luego de identificar la regularidad que se cumple en cada uno de ellos, se puede utilizar una fórmula directamente cuando se presentan estos casos. En este tutorial se explica de manera muy sencilla los productos notables.

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Video tutorial: Productos notables

Este boceto del GeoGebra les ayudará a comprender la interpretación geométrica de uno de los productos notables presentados en el tutorial: cuadrado  de un binomio.  ¡Anímense a experimentar con el Geo!.

https://www.geogebra.org/m/pkb7pbh4

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Utilicen el GeoGebra para verificar que . Escriban qué conceptos matemáticos y relaciones entre conceptos se ponen en juego en esta actividad.

https://www.geogebra.org/m/ceyrgm38

• División de polinomios. Pueden realizar la división de polinomios con un algoritmo que aprenderán, en el cual: C(x) es el polinomio cociente y R(x) es el resto. Cabe destacar que C(x) y R(x) son únicos. 

Siempre se verifica que: Dividendo= divisor . cociente + resto

P(x) = Q(x) .C(X) +R(x) que también se puede poner así: 

Invitamos a que miren este video tutorial sobre cómo se resuelve esta operación que muchas veces nos plantean que les trae dificultades su comprensión.

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Video tutorial: División de Polinomios

REGLA DE RUFFINI- TEOREMA DEL RESTO- TEOREMA DEL FACTOR: tres temas con mucha vinculación entre ellos.

• La Regla de Ruffini: ¿Por qué la regla de Ruffini sirve para dividir polinomios cuando el divisor tiene la forma x-a?¿Qué otra aplicación tiene? 
• Cuando tienen que dividir un polinomio P(x) por un polinomio mónico de grado 1,  en lugar de resolver la división utilizando el algoritmo visto anteriormente, conviene utilizar la regla de Ruffini. Este procedimiento es rápido y sencillo. La regla de Ruffini sirve para obtener, en estos casos, además del cociente de la división,  el valor numérico de un polinomio. Por ello tiene vinculación con el teorema del resto.

• Teorema del resto. El teorema del resto permite hallar de manera muy rápida el resto de una división en las mismas condiciones que se puede aplicar la regla de Ruffini. Este teorema se utiliza habitualmente para determinar, en estos casos, si un número es raíz de un polinomio. Ahora se viene un solo tutorial sobre estos dos temas.

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Video tutorial:  Regla de Ruffini y Teorema del Resto

• Teorema del Factor. Es un caso particular del teorema del resto. Muy útil para encontrar factores de un polinomio. Consecuentemente de gran aplicación en factorización de polinomios. El tema que sigue.  ¿Qué les parece mirar este tutorial? Adelante.

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Video tutorial: Teorema del Factor

Tengan en cuenta que además de esta serie de videos tutoriales tienen como material de apoyo la Guía de estudio.

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Deseamos que la serie de videos tutoriales propuestos hasta aquí les haya ayudado a aprender o a repasar qué son los polinomios , algunas de sus características y las operaciones con ellos.  Como en otras oportunidades les proponemos que resuelvan esta GUÍA DE ACTIVIDADES DE POLINOMIOS  para afianzar el aprendizaje de este tema. 

CLICK AQUÍ PARA RESOLVER LA GUÍA DE ACTIVIDADES DE POLINOMIOS

FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Como ya señalamos, los polinomios son útiles para modelizar matemáticamente las situaciones reales de distintos campos profesionales. También es cierto que los polinomios se pueden expresar de manera desarrollada o factorizada. Mostramos un ejemplo en el que el polinomio P(x) se presenta primero de forma desarrollada (en azul) y luego factorizada (en rojo)

Según las necesidades que plantea la situación problemática se opta por una u otra forma de expresar el polinomio. En esta sección nos ocuparemos de la factorización de polinomios. Definiremos qué significa  factorizar un polinomio y presentaremos distintas técnicas de factorización.

Si bien la factorización de polinomios es un tema aprendido en la escuela secundaria, muchas veces utilizan técnicas de factorización de manera mecánica; no logrando así un buen aprendizaje. ¿Qué les parece primero hacer una actividad de autoevaluación de factorización para que tengan claridad del aprendizaje construido en relación a este tema ? Se viene la Actividad de factorización de polinomios.

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CLICK AQUÍ PARA RESPONDER EL CUESTIONARIO DE FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS

Una vez finalizada la resolución de la actividad es necesario que reflexionen sobre el aprendizaje realizado.

¿Para qué les ha servido hacer la actividad?. Si se equivocaron, ¿por qué creen que fue así? y ¿cómo resolvieron las dificultades que se les presentaron en la resolución de la actividad?.  

Seguidamente hacemos una revisión del tema factorización. 

• Factorizar polinomios a partir de sus raíces. ¿Qué  significa factorizar un polinomio?¿cualquier polinomio expresado como producto de polinomios está factorizado?. ¿qué relación existe entre las raíces de un polinomio y su expresión factorizada?. Este video tutorial nos brinda las respuestas a estas preguntas.

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Video tutorial: Factorizar polinomios a partir de sus raíces

• Raíces de polinomios con coeficientes enteros. Teorema de Gauss. En el video anterior vieron el papel importante de las raíces de un polinomio en su expresión factorizada. En este video recordaremos al teorema de Gauss que se utiliza para hallar raíces racionales en el caso que P(x) sea un polinomio con coeficientes enteros.

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Video tutorial: Teorema de Gauss